Oryginalna wersja z ta historia pojawił się w Magazyn Quanta.
Czasami matematycy próbują stawić czoła problemowi od razu, a czasami podchodzą do niego z boku. Jest to szczególnie prawdziwe, gdy stawka matematyczna jest wysoka, jak w przypadku hipotezy Riemanna, której rozwiązanie zapewnia nagrodę w wysokości 1 miliona dolarów od Clay Mathematics Institute. Jego dowód dałby matematykom znacznie większą pewność co do rozkładu liczb pierwszych, a jednocześnie sugerowałby szereg innych konsekwencji – co czyni go prawdopodobnie najważniejszym otwartym pytaniem w matematyce.
Matematycy nie mają pojęcia, jak udowodnić hipotezę Riemanna. Ale nadal mogą uzyskać przydatne wyniki, po prostu pokazując, że liczba możliwych wyjątków jest ograniczona. „W wielu przypadkach może to być równie dobre, jak sama hipoteza Riemanna” – powiedział Jamesa Maynarda Uniwersytetu Oksfordzkiego. „Możemy na tej podstawie uzyskać podobne wyniki dotyczące liczb pierwszych”.
W przełomowy wynik opublikowane w Internecie w maju, Maynard i Larry’ego Gutha Massachusetts Institute of Technology ustanowił nowy limit liczby wyjątków określonego typu, ostatecznie pobijając rekord ustanowiony ponad 80 lat wcześniej. „To rewelacyjny wynik” – stwierdził Henryka Iwańca Uniwersytetu Rutgersa. „To bardzo, bardzo, bardzo trudne. Ale to klejnot.”
Nowy dowód automatycznie prowadzi do lepszych przybliżeń liczby liczb pierwszych występujących w krótkich odstępach na osi liczbowej i może zaoferować wiele innych spostrzeżeń na temat zachowania liczb pierwszych.
Ostrożny krok
Hipoteza Riemanna jest stwierdzeniem dotyczącym centralnego wzoru w teorii liczb zwanego funkcją zeta Riemanna. Funkcja zeta (ζ) jest uogólnieniem prostej sumy:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯.
Szereg ten będzie stawał się dowolnie duży w miarę dodawania do niego coraz większej liczby wyrazów – matematycy twierdzą, że jest on rozbieżny. Ale jeśli zamiast tego miałbyś podsumować
1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9+ 1/16 + 1/25 +⋯
otrzymasz π2/6, czyli około 1,64. Zaskakująco potężnym pomysłem Riemanna było przekształcenie takiego szeregu w funkcję w następujący sposób:
ζ(S) = 1 + 1/2S + 1/3S + 1/4S + 1/5S + ⋯.
Zatem ζ(1) jest nieskończone, ale ζ(2) = π2/6.
Sprawy stają się naprawdę interesujące, kiedy na to pozwalasz S będzie liczbą zespoloną, która składa się z dwóch części: części „rzeczywistej”, która jest liczbą codzienną, i części „urojonej”, która jest liczbą codzienną pomnożoną przez pierwiastek kwadratowy z −1 (lub I, jak piszą matematycy). Liczby zespolone można wykreślić na płaszczyźnie, tak aby część rzeczywista znajdowała się na płaszczyźnie X-oś i część urojona na y-oś. Tutaj jest na przykład 3 + 4I.
Wykres: Mark Belan dla magazynu Quanta
