Profesor Rutgers rozwiązuje dwie największe tajemnice matematyki

Wybitny profesor matematyki w Rutgers rozwiązał dwa krytyczne problemy matematyczne, które od dziesięcioleci intrygują ekspertów.

Zmierzył się z hipotezą wysokości zerowej z 1955 r. i poczynił znaczące postępy w teorii Deligne-Lusztiga, ulepszając jej zastosowania teoretyczne w kilku naukach.

Profesor Uniwersytetu Rutgers w Nowym Brunszwiku, oddany odkrywaniu tajemnic wyższej matematyki, rozwiązał dwa odrębne, podstawowe problemy, które od dziesięcioleci wprawiają matematyków w zakłopotanie.

Te przełomy mogą znacznie pogłębić naszą wiedzę na temat symetrii w strukturach naturalnych i naukowych, a także długoterminowego zachowania procesów losowych w różnych dziedzinach, w tym chemii, fizyce, inżynierii, informatyce i ekonomii.

Rozwiązanie hipotezy o wysokości zerowej z 1955 r

Pham Tiep, wybitny profesor matematyki Joshua Barlaz na Wydziale Matematyki Rutgers School of Arts and Science, zakończył dowód hipotezy o wysokości zerowej z 1955 r., postawionej przez Richarda Brauera, czołowego niemiecko-amerykańskiego matematyka, który zmarł w 1977 r. hipoteza ta – powszechnie uważana za jedno z najwybitniejszych wyzwań w dziedzinie matematyki zwanej teorią reprezentacji grup skończonych – została opublikowana we wrześniowym numerze czasopisma Roczniki matematyki.^[1]

„Przypuszczenie to pomysł, który Twoim zdaniem ma pewną wartość” – powiedział Tiep, który myślał o problemie Brauera przez większość swojej kariery i intensywnie nad nim pracował przez ostatnie 10 lat. „Ale przypuszczenia trzeba udowodnić. Miałem nadzieję, że awansuję na boisku. Nigdy nie spodziewałem się, że uda mi się rozwiązać ten problem.”

W pewnym sensie Tiep i jego współpracownicy podążali za planem wyzwań, jakie Brauer przed nimi postawił w serii domysłów matematycznych postawionych i opublikowanych w latach pięćdziesiątych i sześćdziesiątych XX wieku.

„Niektórzy matematycy mają ten rzadki intelekt” – powiedział Tiep o Brauerze. „To tak, jakby przybyli z innej planety lub z innego świata. Potrafią dostrzec ukryte zjawiska, których inni nie potrafią.”

Zaawansowane teorie reprezentacji

W drugim kroku Tiep rozwiązał trudny problem znany jako teoria Deligne-Lusztiga, będąca częścią podstawowego mechanizmu teorii reprezentacji. Przełom dotyczy śladów, ważnej cechy prostokątnej tablicy zwanej macierzą. Ślad macierzy jest sumą jej elementów przekątnych. Prace opisano szczegółowo w dwóch artykułach, jeden był opublikowany W Wynalazki matematyczne,^[2] drugi w Roczniki matematyki.^[3]

„Wysoka jakość pracy Tiiepa i wiedza specjalistyczna na temat grup skończonych pozwoliły Rutgersowi utrzymać pozycję czołowego światowego ośrodka w tej dziedzinie” – powiedział Stephen Miller, wybitny profesor i kierownik Wydziału Matematyki. „Jedno z największych osiągnięć 20^t matematyka stulecia była klasyfikacją tak zwanych, choć być może błędnie nazwanych, „prostych” grup skończonych i jest synonimem Rutgersa – stąd została zapoczątkowana i tutaj odkryto wiele najciekawszych przykładów. Dzięki swojej niesamowitej, ciężkiej pracy Tiep zapewnia naszemu działowi międzynarodową widoczność”.

Wnioski płynące z rozwiązania prawdopodobnie znacznie poszerzą wiedzę matematyków na temat śladów, powiedział Tiep. Rozwiązanie dostarcza również spostrzeżeń, które mogą prowadzić do przełomów w innych ważnych problemach matematyki, w tym przypuszczeń postawionych przez Uniwersytet Florydy matematyk John Thompson i izraelski matematyk Aleksander Lubotzky – dodał.

Wpływ odkryć matematycznych

Obydwa przełomy stanowią postęp w dziedzinie teorii reprezentacji grup skończonych, będącej podzbiorem algebry. Teoria reprezentacji jest ważnym narzędziem w wielu obszarach matematyki, w tym w teorii liczb i geometrii algebraicznej, a także w naukach fizycznych, w tym w fizyce cząstek elementarnych. Za pomocą obiektów matematycznych zwanych grupami teorię reprezentacji wykorzystano także do badania symetrii cząsteczek, szyfrowania wiadomości i tworzenia kodów korygujących błędy.

Kierując się zasadami teorii reprezentacji, matematycy przyjmują abstrakcyjne kształty istniejące w geometrii euklidesowej – niektóre z nich są niezwykle złożone – i przekształcają je w tablice liczb. Można to osiągnąć poprzez identyfikację pewnych punktów istniejących w każdym trójwymiarowym lub wyższym kształcie i przekształcenie ich w liczby umieszczone w wierszach i kolumnach.

Tiep stwierdził, że musi zadziałać również operacja odwrotna: trzeba umieć odtworzyć kształt na podstawie sekwencji liczb.

Codzienne inspiracje napędzają matematyczne przełomy

W przeciwieństwie do wielu jego kolegów z nauk fizycznych, którzy często wykorzystują złożone urządzenia do usprawnienia swojej pracy, Tiep powiedział, że do prowadzenia badań używa wyłącznie pióra i papieru, których efektem jak dotąd jest pięć książek i ponad 200 artykułów w wiodących czasopismach matematycznych .

Zapisuje formuły matematyczne lub zdania wskazujące łańcuchy logiczne. Prowadzi także ciągłe rozmowy – osobiście lub na platformie Zoom – ze współpracownikami, którzy krok po kroku przechodzą przez próbę.

Jednak postęp może wynikać z wewnętrznej refleksji, powiedział Tiep, a pomysły pojawiają się, gdy najmniej się tego spodziewa.

„Może spaceruję z dziećmi, pracuję z żoną w ogrodzie lub po prostu robię coś w kuchni” – powiedział. „Moja żona mówi, że zawsze wie, kiedy myślę o matematyce”.

Przy tworzeniu pierwszego dowodu Tiep współpracował z Gunterem Malle z Technische Universität Kaiserslautern w Niemczech, Gabrielem Navarro z Universitat de València w Hiszpanii i Amandą Schaeffer Fry, byłą absolwentką Tiep’s, która obecnie studiuje na Uniwersytecie w Denver.

Przy tworzeniu drugiego przełomu Tiep współpracował z Robertem Guralnickiem z Uniwersytetu Południowej Kalifornii i Michaelem Larsenem z Uniwersytetu Indiana. Nad pierwszym z dwóch artykułów poświęconych matematycznym problemom dotyczącym śladów i ich rozwiązywaniu Tiep współpracował z Guralnickiem i Larsenem. Tiep i Larsen są współautorami drugiej pracy.

„Tiep i współautorzy uzyskali granice śladów tak dobre, jak mogliśmy się spodziewać” – powiedział Miller. „To dojrzały temat, ważny z wielu punktów widzenia, więc postęp jest trudny, a zastosowań jest wiele”.

Odniesienie:

1. „Hipoteza zerowego wzrostu Brauera” Guntera Malle’a, Gabriela Navarro, Amandy Schaeffer Fry i Pham Tiep, wrzesień 2024, Roczniki matematyki.
   DOI: 10.4007/annals.2024.200.2.4
2. „Poziomy znaków i granice znaków dla skończonych grup klasycznych” Robert M. Guralnick, Michael Larsen i Pham Huu Tiep, 29 września 2023 r., Wynalazki matematyczne.
   DOI: 10.1007/s00222-023-01221-5
3. „Jednolite granice znaków dla skończonych grup klasycznych” Michaela Larsena i Pham Tiep, lipiec 2024, Roczniki matematyki.
   DOI: 10.4007/annals.2024.200.1.1