Ustalenie, jakie podgrupy zawiera grupa, jest jednym ze sposobów zrozumienia jej struktury. Na przykład podgrupy Z6 to {0}, {0, 2, 4} i {0, 3} — podgrupa trywialna, wielokrotności 2 i wielokrotności 3. W grupie D6obroty tworzą podgrupę, ale odbicia nie. Dzieje się tak, ponieważ dwa odbicia wykonane po kolei powodują obrót, a nie odbicie, podobnie jak dodanie dwóch liczb nieparzystych daje liczbę parzystą.
Pewne typy podgrup, zwane podgrupami „normalnymi”, są szczególnie przydatne dla matematyków. W grupie przemiennej wszystkie podgrupy są normalne, ale nie zawsze jest to prawdą bardziej ogólnie. Podgrupy te zachowują niektóre z najbardziej przydatnych właściwości przemienności, nie zmuszając całej grupy do przemienności. Jeśli można zidentyfikować listę normalnych podgrup, grupy można podzielić na składniki w podobny sposób, w jaki liczby całkowite można podzielić na iloczyny liczb pierwszych. Grupy, które nie mają normalnych podgrup, nazywane są grupami prostymi i nie można ich dalej dzielić, tak jak nie można rozkładać na czynniki liczb pierwszych. Grupa ZN jest proste tylko wtedy, gdy N jest liczbą pierwszą — na przykład wielokrotności 2 i 3 tworzą normalne podgrupy w Z6.
Jednak proste grupy nie zawsze są takie proste. „To największe błędne określenie w matematyce” – stwierdził Hart. W 1892 roku matematyk Otto Hölder zaproponował zebranie się badaczy pełna lista wszystkich możliwych skończonych grup prostych. (Nieskończone grupy, takie jak liczby całkowite, tworzą własny kierunek studiów.)
Okazuje się, że prawie wszystkie skończone grupy proste albo wyglądają ZN (dla wartości pierwszych N) lub należeć do jednej z dwóch innych rodzin. Istnieje 26 wyjątków, zwanych grupami sporadycznymi. Unieruchomienie ich i pokazanie, że nie ma innych możliwości, zajęło ponad sto lat.
Największą grupę sporadyczną, trafnie zwaną grupą potworów, odkryto w 1973 roku. Tak się stało więcej niż 8×1054 elementów i reprezentuje obroty geometryczne w przestrzeni o prawie 200 000 wymiarach. „To po prostu szaleństwo, że ludzie mogli znaleźć coś takiego” – powiedział Hart.
Wydawało się, że w latach 80. większość prac, do których wzywał Hölder, została ukończona, ale trudno było wykazać, że nie było już tam sporadycznych grup. Klasyfikacja uległa dalszemu opóźnieniu, gdy w 1989 r. społeczność znalazła luki w jednym 800-stronicowym dowodzie z początku lat 80. Nowy dowód został wreszcie opublikowany w 2004 roku, kończąc klasyfikację.
Wiele struktur we współczesnej matematyce — na przykład pierścienie, pola i przestrzenie wektorowe — powstaje, gdy do grup dodaje się więcej struktur. W pierścieniach możesz mnożyć, a także dodawać i odejmować; w polach możesz także dzielić. Ale pod wszystkimi tymi bardziej skomplikowanymi strukturami kryje się ta sama pierwotna idea grupy, z jej czterema aksjomatami. „Bogactwo, jakie jest możliwe w tej strukturze, dzięki tym czterem zasadom, jest oszałamiające” – powiedział Hart.
Oryginalna historia przedrukowano za zgodą Magazyn Quantaniezależna redakcyjnie publikacja Fundacja Simonsa którego misją jest zwiększanie zrozumienia nauki przez społeczeństwo poprzez uwzględnianie rozwoju badań i trendów w matematyce oraz naukach fizycznych i przyrodniczych.
